卷十八 技艺

隙积术与会圆术

原文
算术求积尺之法如刍萌刍童方池冥谷堑堵鳖臑圆锥阳马之类物形备矣独未有隙积一术古法凡算方积之物有立方谓六幂皆方者其法再自乘则得之有堑堵谓如土墙者两边杀两头齐其法并上下广折半以为之广以直高乘之又以直高为股以上广减下广余者半之为勾勾股求弦以为斜高有刍童谓如覆斗者四面皆杀其法倍上长加入下长以上广乘之倍下长加入上长以下广乘之并二位以高乘之六而一隙积者谓积之有隙者如累棋层坛及酒家积罂之类虽似覆斗四面皆杀缘有刻缺及虚隙之处用刍童法求之常失于数少余思而得之用刍童法为上位下位别列下广以上广减之余者以高乘之六而一并入上位假令积罂最上行纵广各二罂最下行各十二罂行行相次先以上二行相次率至十二当十一行也以刍童法求之倍上行长得四并入下长得十六以上广乘之得之三十二又倍下行长得二十四并入上长得二十六以下广乘之得三百一十二并二位得三百四十四以高乘之得三千七百八十四重列下广十二以上广减之余十以高乘之得一百一十并入上位得三千八百九十四六而一得六百四十九此为罂数也刍童求见实方之积隙积求见合角不尽益出羡积也履亩之法方圆曲直尽矣未有会圆之术凡圆田既能拆之须使会之复圆古法惟以中破圆法拆之其失有及三倍者余别为拆会之术置圆田径半之以为弦又以半径减去所割数余者为股各自乘以股除弦余者开方除为勾倍之为割田之直径以所割之数自乘倍之又以圆径除所得加入直径为割田之弧再割亦如之减去已割之弧则再割之弧也假令有圆田径十步欲割二步以半径为弦五步自乘得二十五又以半径减去所割二步余三步为股自乘得九用减弦外有十六开平方除得四步为勾倍之为所割直径以所割之数二步自乘为四倍之得为八退上一位为四尺以圆径除今圆径十已足盈数无可除只用四尺加入直径为所割之孤凡得圆径八步四尺也再割亦依此法如圆径二十步求弧数则当折半乃所谓以圆径除之也此二类皆造微之术古书所不到者漫志于此

注释

积尺在本文中泛指体积也就是“立方尺”的意思数学名词两个或多个数相乘的结果称为这些数的积在古代算学书籍里常借用长度单位名称来兼表面积单位或者体积单位因此“积尺”在古代既可以表示“平方尺”也可以表示“立方尺”

刍萌长方楔形状其底面为长方形两个侧面为梯形也称为刍甍(hōnɡ)

鳖臑一种锥体底面为直角三角形且有一棱与底面垂直

阳马四棱锥有时指底面为长方形且有一棱与底面垂直的锥体

立方文中指正方体

以直高乘之用梯形面的垂直高相乘文中指用上句中所得的数值(梯形的上下宽相加除以二)与高相乘至此实际上就得到了这个梯形的面积也为下一步乘以长度得到物体的体积作了准备

古代一种腹大口小的陶制容器

别列文中指另外计算

重列另外列出

会圆之术会圆术沈括所创的一种计算圆弓形弧长的近似方法其近似公式为C=a+h2r×6其中r为半径h为矢高a为弦长沈括并未给出这一公式的推导它很可能与九章算术中“弧田术”有着某种密切的关系

另外古代无“另”字用“另”的地方常写作“别”

各自乘文中指将弦股各自平方

再割亦如之再次切割也如此类推

减去已割之弧则再割之弧也(用总的弧长)减去已割部分的弧长就是再切割之田的弧长了

古代计量单位一步为五尺

造微之术比较精确的计算方法

记述

译文

算术中求物体体积的方法如刍萌刍童方池冥谷堑堵鳖臑圆锥阳马等各种形状的物体都具备了只是没有隙积术古代的算法凡计算物体的体积有立方体是指六个面都是正方形的物体其计算方法是把一条边自乘两次就可以求得了有堑堵是指有点像土墙形状的物体两边是斜的两头的面是垂直的它的截面面积的算法是先把上下底的宽相加除以二作为截面的宽用直高与它相乘就求得了一个值再将直高作为股用上底面的宽减去下底面的宽所得之差除以二作为勾用勾股定理算出弦就是它的斜边长有刍童是指有点像翻过来的方斗形状四侧都是斜面它的计算方法是将上底面的长乘二与下底面的长相加再与上底面的宽相乘将下底面的长乘二与上底面的长相加再与下底面的宽相乘把这两个数值相加与高相乘再取其六分之一(就求得了它的体积)隙积是指堆累起来而其中有空隙的物体像堆叠起来的棋子分层建造起来的土坛以及酒馆里堆累起来的酒坛子一类的物体它们虽像倒扣着的斗四侧都是斜面但是由于边缘存在着一定的残缺或空隙如果用刍童法计算所得数量往往比实际的要少我想出了一种计算方法用刍童法算出它的上位下位数值另外单独列出它的下底宽减去上底宽将所得之差乘高取其六分之一再并入前面的数目就可以了假设有用酒坛子累成的堆垛最上层的长宽都是两只坛子最下层的长宽都是十二只坛子一层层交错堆垛好先从最上层数起数到有十二只坛子的地方正好是十一层用刍童法来计算把上层的长乘二得四与下层的长相加得十六与上层的宽相乘得三十二再把下层的长乘二得二十四与上层的长相加得二十六与下层的宽相乘得三百一十二下两数相加得三百四十四乘高得三千七百八十四另外将下层的宽十二减去上层的宽得十与高相乘得一百一十与前面的数字相加得三千八百九十四取它的六分之一得六百四十九这就是这堆酒坛的数量运用刍童法算出的是实方的体积运用隙积法算出的是空缺部分拼合成的体积也就可以算出多余的体积丈量土地的方法直的算法都有不过没有会圆的算法凡是圆形的土地既能够拆开来也应该能让它拼合起来恢复圆形古代的算法只用中破圆法把圆形拆开来计算它的误差有达三倍之多的我另外设计了一种拆开会合的计算方法假设有一块圆形的土地用它的直径的一半作为弦再以半径减去所割下的弧形的高用它们的差作为股股各自平方用弦的平方减去股的平方将它们的差开平方后作为勾再乘二就是所割弧形田的弦长把所割的弧形田的高平方乘二再除以圆的直径所得的商加上弧形的弦长便是所割弧形田的弧长再割一块田也像这样计算用总的弧长减去已割部分的弧长就是再割之田的弧长了假如有块圆形的土地直径是十步想使割出的圆弧高二步就用圆半径五步作为弦五步自乘得二十五又用半径减去弧形的高二步它们的差三步作为股自乘得九用它与弦二十五相减得十六开平方得四这就是勾再乘二就是弧的弦长把圆弧的高二步自乘得四再乘二得八退上一位为四尺用圆的直径相除现今圆的直径为十已经满了整十数不可除只用四尺加下圆弧直径就是所割圆的弧长共得圆弧直径八步四尺再割一块圆田也依照这种方法如果圆直径是二十步要求弧长就应当折半也就是所说的要用圆弧的半径来除它这两种方法都涉及精确的算法是古书里没有说到的随笔记录于此

喻皓木经

原文
营舍之法谓之木经或云喻皓所撰凡屋有“三分(去声)”自梁以上为“上分”地以上为“中分”阶为“下分”凡梁长几何则配极几何以为榱等如梁长八尺配极三尺五寸则厅堂法也此谓之“上分”若干尺则配堂基若干尺以为榱等若楹一丈一尺则阶基四尺五寸之类以至承棋榱桷皆有定法谓之“中分”阶级有“峻”“平”“慢”三等宫中则以御辇为法凡自下而登前竿垂尽臂后竿展尽臂为“峻道”(荷辇十二人前二人曰前竿次二人曰前绦又次曰前胁后二人曰后胁又后曰后绦末后曰后竿辇前队长一人曰传唱后一人曰报赛)前竿平肘后竿平肩为“慢道”前竿垂手后竿平肩为“平道”此之谓“下分”其书三卷近岁土木之工益为严善木经多不用未有人重为之亦良工之一业也

注释

喻皓北宋前期建筑师浙东人曾被欧阳修称为“国朝以来木工”第一人

屋顶实指屋顶与横梁之间的垂直高度

榱(cuī)等同“衰等”等级比例

支撑横梁的木柱

承棋即斗拱梁和柱之间的承重结构榱桷椽子

御辇此指皇帝专坐的轿

“凡自下而登”四句抬御辇升阶当抬辇者都在台阶上时最前面的二人(前竿)手臂自然下垂到手能握竿的最低度(“垂尽臂”)最后面的二人(后竿)则手臂上举到手能握竿的最高度(“展尽臂”)以此保持前后的平衡这样的台阶比较陡所以叫做“峻道”下述“慢道”“平道”坡度依次降低文意参此

译文

关于屋舍的营造技术有一部专门讨论的书籍叫做木经有的说是喻皓所撰此书将屋舍建筑概括为“三分”自梁以上为“上分”梁以下地面以上为“中分”台阶为“下分”凡是梁长多少则梁到屋顶的垂直高度就相应地配多少以此定出比例如梁长八尺梁到屋顶的高度就配三尺五寸这是厅堂的规格这叫做“上分”柱子高若干尺则堂基就相应地配若干尺也以此定出比例如柱子高一丈一尺则堂前大门台阶的宽度就配四尺五寸之类以至于斗拱椽子等都有固定的尺寸这叫做“中分”台阶则有“峻”“平”“慢”三种皇宫内是以御辇的出入为标准的凡是抬御辇自下而上登台阶前竿下垂尽手臂之长后竿上举也尽手臂之长这样才能保持平衡的台阶叫做“峻道”(抬辇的共有十二人前二人称前竿其次二人称前绦又其次二人称前胁其后二人称后胁再后二人称后绦最后二人称后竿御辇的前面有队长一人称传唱御辇的后面有一人称报赛)前竿与肘部相平后竿与肩部相平这样才能保持平衡的台阶叫做“慢道”前竿下垂尽手臂之长后竿与肩部相平这样就能保持平衡的台阶叫做“平道”这些叫做“下分”其书共有三卷近年土木建筑的技术更为严谨完善了已多不用旧时的木经然而还没有人重新编写一部这样的书这也应该是优秀的木工信得留意的一项业内之事

毕昇发明活字印刷

原文
版印书籍唐人尚未盛为之自冯瀛王始印五经已后典籍皆为版本庆历中有布衣毕昇又为活版其法用胶泥刻字薄如钱唇每字为一印火烧令坚先设一铁板其上以松脂腊和纸灰之类冒之欲印则以一铁范置铁板上乃密布字印满铁范为一板持就火炀之药稍镕则以一平板按其面则字平如砥若止印三二本未为简易若印数十百千本则极为神速常作二铁板一板印刷一板已自布字此印者才毕则第二板已具更互用之瞬息可就每一字皆有数印如“之”“也”等字每字有二十余印以备一板内有重复者不用则以纸贴之每韵为一贴木格贮之有奇字素无备者旋刻之以草火烧瞬息可成不以木为之者木理有疏密沾水则高下不平兼与药相粘不可取不若燔土用讫再火令药镕以手拂之其印自落殊不沾污昇死其印为余群从所得至今保藏

注释

版印雕版印刷即在成块的木板上按镜像雕刻好文字图案再用这样的板子进行印刷一般认为这种方法起源于隋代

冯瀛王冯道(882-954年)五代时瀛州景城(今河北沧州西)人后唐后晋时历任宰相后汉时任太师后周时又任太师中书令死后追封为瀛王

已后以后通“以”

典籍经典和古籍

版本用雕版法印制而成的书籍相对于抄本而言五经等儒家经典过去只有手抄本自冯道组织人用雕版法印制后才有了区别于抄本的版本

布衣平民

活版即活字板唐代雕版印刷已经很发达但都是用整块的木板整页雕刻活版则不同是用一个个字模临时拼组而成活版的出现标志着印刷术又经历了一次革命是中国古代重大发明之一

钱唇铜钱的边毕昇的泥活字是用胶泥制成块后刻出的反体凸字“薄如钱唇”是说所刻反体凸字的厚度与铜钱边缘的厚度差不多

混合

铁范铁框子模子

靠近

即上文“松脂腊和纸灰之类”有黏性遇热熔化冷却后会凝固

如砥意思是说像磨刀石一样平

另自别自

更互交替轮流

贴上标签用标签标示

储存

往常平常

木理木材的纹理

燔(fán)

译文

毕昇用雕版印刷书籍唐朝人还没有大规模采用至五代时的冯瀛王才开始用雕版印制五经从那以后的各种典籍和图书都是雕版印刷本了庆历年间有位叫毕昇的平民又创造了活字印版他的方法是用胶泥刻字字的厚薄像铜钱的边缘一般每个字制成一个字模用火烧烤使它变得坚硬先设置一块铁板上面用松脂蜡混合纸灰这一类东西覆盖住想要印刷时就拿一个铁框子放在铁板上然后密密地排列好字模排满一铁框就作为一个印版拿着它靠近火烘烤等松脂等物开始熔化时就拿一块平板按压它的表面于是排在板上的字模就平整得像磨刀石一样如果只印制三两本书(这种方法)不能算很简便如果印刷几十乃至成百上千本书(这种方法)就显得特别快捷印刷时通常制作两块铁板一块正在印刷另一块已经另外排字模这一块刚印完另一块已经准备好了两块交替使用极短的时间就可以完成每一个字都有好多个字模像“之”“也”等字每个字有二十多个字模用来防备一块板里面有重复出现的字(字模)不用时就用纸条做的标签分类加以标示每个韵部做一个标签用木格把它们储存起来遇到平时没有准备的生冷之字随即把它刻出来用草火烧烤很快可以制成不拿木头制作活字模是因为木头的纹理有疏有密沾了水就会变得高低不平加上容易与药物互相粘连不能(重新把字模)取下来不如用胶泥烧制字模使用完毕后再次用火烘烤使药物熔化用手一抹那些字模就会自行脱落一点也不会被药物弄脏毕昇死后他的字模被我的堂房兄弟和侄子们得到了到现在还珍藏着

卫朴精于历术

原文
淮南人卫朴精于历术一行之流也春秋日蚀三十六诸历通验密者不过得二十六七唯一行得二十九朴乃得三十五唯庄公十八年一蚀今古算皆不入蚀法疑前史误耳自夏仲康五年癸巳岁至熙宁六年癸丑凡三千二百一年书传所载日蚀凡四百七十五众历考验虽各有得失而朴所得为多朴能不用算推古今日月蚀但口诵乘除不差一算凡大历悉是算数令人就耳一读即能暗诵旁通历则纵横诵之尝令人写历书写讫令附耳读之有差一算者读至其处则曰“此误某字”其精如此大乘除皆不下照位运筹如飞人眼不能逐人有故移其一算者朴自上至下手循一遍至移算处则拨正而去熙宁中撰奉元历以无候簿未能尽其术自言得六七而已然已密于他历

注释

不用算不用计算工具古人以算筹为计算工具有专用的盘故后来称珠算工具为“算盘”据现在所知宋代珠算的算盘可能已比较流行但仍常用算筹从沈括本条的记录来看卫朴晚年可能视力已很差或者已目盲

一算犹今言一个数每个数都可看成是一次运算故称“一算”

大历指正式制定的历法书

旁通历当是指历史年表一类的工具书这类年表通常以历法年代(或称“长历”)与各朝代的纪年相对照纵横交错列成表格古人称为“旁行斜上”或“旁通”历法的制定需要参考历史纪年

“大乘除皆不下”二句指卫朴用算筹运算时不用像现在列算式一样一步一步摆下去只按照数位放置或移动少量算筹即可得出结果犹如现在精于珠算者不用从个位数打起只从高位拨珠后面的珠子稍做调整便已得出结果古人用算筹乘除被乘数和被除数放在上边叫“上位”乘数和除数放在下边叫“下位”中间为运算的位置叫“中位”

候簿候天的记录簿即观测记录

译文

淮南人卫朴精通历法在这方面是不亚于唐僧一行的人物春秋一书中记载了三十六次日食历代历法学者通加验证一般认为所记与实际天象密合的不过有二十六七次只有一行证明有二十九次而卫朴则证明有三十五次只有庄公十八年的一次日食与古今学者对日食发生日期的推算都不合怀疑是春秋记错了从夏代仲康五年癸巳岁到宋代熙宁六年癸丑岁凡三千二百零一年各种书籍所记载的日食共有四百七十五次以往各种历法的推考检验虽各有得失而卫朴所得出的合乎实际的结论要较前人为多卫朴不用计算工具就能够推算古今的日月食加减乘除都只用口算却一个数都不会错凡是正式制定的历法书全都是一大堆计算程序和数字卫朴叫人在耳边读一遍就能够背下来对于历表和各种年表他也都能纵横背诵他曾让人抄写历书抄写完毕后叫抄写的人贴着他的耳朵读一遍有哪个地方错了一个数读到那地方时他就说“某字抄错了”他的学问竟能精湛到这样的程度他用算筹运算时很大数字的乘除都不用一步一步摆下去只照着数位运筹如飞人的眼睛都跟不上有人曾故意移动了他的一只算筹他从上到下用手摸了一遍到被移动的地方又随手拨正而离开熙宁年间制定奉元历因为没有实际的观测记录卫朴未能全部发挥他的才能和知识他自己也说这部历法的可靠性大约只有六七成然而已比其他历法要精密一些

梵天寺木塔

原文
钱氏据两浙于杭州梵天寺建一木塔方两三级钱帅登之其塔动匠师云“未布瓦上轻故如此”乃以瓦布之而动如初无可奈何密使其妻见喻皓之妻以金钗问塔动之因皓笑曰“此易耳但逐层布板讫便实钉则不动矣”匠师如其言塔遂定盖钉板上下弥束六幕相联如肱箧人履其板六幕相持自不能动人皆伏其精练

注释

钱氏指五代吴越国(907-978)的吴越王及其子孙吴越国为钱镠所建

两浙宋时路名浙东浙西的合称相当于今浙江省及江苏省的长江以南部分地区

于杭州梵天寺建一木塔在杭州梵天寺建造一座木塔此处的梵天寺木塔指宋乾德二年(964)重建的木塔原塔始建于后梁贞明二年(916)

钱帅即钱俶(929-988)钱镠的孙子后归顺北宋封吴越国王及天下兵马大元帅

担忧忧虑

布瓦盖瓦铺设

喻皓也作预皓五代末北宋初著名建筑工匠浙江杭州一带人生卒年代不详普通木工出身北宋初年曾任都料(掌管设计施工的木工)人称预都料他在长期的建筑实践中善于学习勤于思索在木结构建造技术方面积累了丰富的经验尤其擅长建筑多层宝塔和楼阁相传喻皓曾撰成木经三卷木经为我国古代重要建筑工程著作可惜亡佚具体内容现已无法窥究沈括梦溪笔谈·技艺中还有一条笔记专记木经虽然文字不多但是为我们提供了与木经有关的弥足珍贵的资料

赠送财物赂在上古并不作贿赂讲其由“赠送财物”引申出的“贿赂”之义是后起的“贿赂”在古代叫“赇”

讫(qì)完毕终了

实钉用钉子钉实钉牢

弥束全部紧束文中指“通过逐层钉板使塔体得到紧固结构得到加强”的意思

六幕文中指立方体的上后六个面即下文举例所用箱子的六个面

肱箧(qiè)撬开箱子此处指箱子

践踏

相持互相支撑

通“服”敬佩信服

精练精熟

译文

钱氏王朝统治两浙时在杭州梵天寺修建一座木塔才建了两三层时钱帅登上木塔嫌它晃动工匠说“还没有盖瓦上面轻所以才会这样”于是在上面盖了瓦但是木塔还是像当初一样晃动实在没有办法了工匠就暗地里让妻子去见喻皓的妻子给她送了金钗求她向喻皓打听木塔晃动的原因喻皓笑着说“这个容易啊只要逐层铺上木板用钉子钉牢就不会晃动了”工匠按他说的(去做)塔身于是稳定了因为钉牢木板以后各层上下更加紧密连接后六面互相连接就像一只箱子人踩上去上下及周边四面互相支撑当然不会晃动人们都佩服喻皓技艺精熟

评析

本门所记各项技能技术包含重要材料介绍沈括本人的数学成就包括隙积术(有间隙垛体体积的计算方法)会圆术(由已知圆的直径和圆弧的高求圆弧弧长的方法)等介绍喻皓木经的建筑技术介绍毕昇发明活字印刷的技术介绍天文历算家卫朴的事迹